Buktikan! sin A + sin B + sin C = 4 cos (A/2) cos (B/2) cos (C/2) Jika diketahui A + B + C = 180

Buktikan! sin A + sin B + sin C = 4 cos (A/2) cos (B/2) cos (C/2), jika diketahui A + B + C = 180⁰. Untuk membuktikannya, kita bisa menggunakan rumus jumlah dan selisih trigonometri, yaitu:

• sin A + sin B = 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A – B)
• sin A – sin B = 2 cos ½ (A + B) sin ½ (A – B)
• cos A + cos B = 2 cos ½ (A + B) cos ½ (A – B)
• cos A – cos B = –2 sin ½ (A + B) sin ½ (A – B)

Pembahasan

Sebelum membuktikan identitas di atas, kita ingat lagi beberapa rumus yaitu:

Sudut relasi di kudran II yaitu pada sinus

• sin (180⁰ – α) = sin α

Sudut relasi di kuadran I pada sinus

• sin (90⁰ – α) = cos α

Sudut rangka pada sinus

• sin 2A = 2 sin A cos A  

⇒ sin A = 2 sin ½ A cos ½ A

Sudut rangka pada kosinus

• cos 2A = 2 cos² A – 1

⇒ 1 + cos 2A = 2 cos² A

⇒ 1 + cos A = 2 cos² ½ A

Jumlah sudut pada sinus

• sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

Jadi  

A + B + C = 180⁰

A + B = 180⁰ – C

C = 180⁰ – (A + B)

sin C = sin (180⁰ – (A + B))

sin C = sin (A + B)

sin A + sin B + sin C

= sin A + sin B + sin (A + B)

= sin A + sin B + (sin A cos B + cos A sin B)

= sin A + sin A cos B + sin B + cos A sin B

= sin A (1 + cos B) + sin B (1 + cos A)

= (2 sin ½ A . cos ½ A) (2 cos² ½ B) + (2 sin ½ B . cos ½ B) (2 cos² ½ A)

= 4 sin ½ A . cos ½ A . cos² ½ B + 4 sin ½ B . cos ½ B . cos² ½ A

= 4 cos ½ A . cos ½ B (sin ½ A . cos ½ B + cos ½ A . sin ½ B)

= 4 cos ½ A . cos ½ B . sin (½ A + ½ B)

= 4 cos ½ A . cos ½ B . sin ½ (A + B)

= 4 cos ½ A . cos ½ B . sin ½ (180⁰ – C)

= 4 cos ½ A . cos ½ B . sin (90⁰ – ½ C)

= 4 cos ½ A . cos ½ B . cos ½ C

= 4 cos (A/2) . cos (B/2) . cos (C/2)

Terbukti

Pelajari lebih lanjut  

Contoh soal lain tentang jumlah dan selisih trigonometri

• Selisih trigonometri: brainly.co.id/tugas/14805860  
• Jumlah trigonometri: brainly.co.id/tugas/22144815
• Perkalian trigonometri: brainly.co.id/tugas/21637820

------------------------------------------------

Detil Jawaban  

Kelas : 11

Mapel : Matematika Peminatan

Kategori : Jumlah dan Selisih Trigonometri

Kode : 11.2.2

Kata Kunci : Buktikan! sin A + sin B + sin C = 4 cos (A/2) cos (B/2) cos (C/2)