buktikan akar 2 sebagai bilangan irasional.

Bilangan irasional adalah bilangan real yang tidak bisa dituliskan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat (pembagi tidak sama dengan nol). Kita akan membuktikan bahwa 2–√ adalah bilangan irasional, dengan kontradiksi (proof by contradiction).

Dalam pembuktian dengan kontradiksi, kita mengasumsikan suatu pernyataan (teorema) salah, dan yang benar adalah negasinya. Lalu kita menunjukkan bahwa asumsi tersebut salah, dengan kata lain pernyataan semula (teorema) benar.

” 2–√ adalah bilangan irasional.”

Negasi dari pernyataan di atas adalah

” 2–√ adalah bilangan rasional.”

Kita akan menunjukkan bahwa negasi di atas salah.
2–√ diasumsikan sebagai bilangan rasional, sehingga bisa dituliskan dalam bentuk

pqp,q∈Zq≠0fpb(p,q)=1

Bentuk pq merupakan bentuk pecahan yang paling sederhana, dengan kata lain p dan q relatif prima. Dua bilangan dikatakan relatif prima, apabila faktor persekutuan terbesarnya (FPB) adalah 1.

2–√=pq
2=p2q2
2q2=p2

Diperoleh p2 bilangan genap karena merupakan kelipatan 2 dari suatu bilangan bulat, yang berakibat p juga genap. Karena genap, maka p bisa ditulis sebagai 2k, untuk k suatu bilangan bulat. Substitusi p = 2k ke persamaan di atas.

2q2=(2k)2
2q2=4k2
q2=2k2

Diperoleh q2 genap, yang berakibat q juga genap. Ternyata p dan q merupakan bilangan genap, artinya 2 merupakan faktor persekutuan dari kedua bilangan itu. Hal ini kontradiksi dengan asumsi semula bahwa faktor persekutuan terbesar dari p dan q adalah 1.

Ini menunjukkan bahwa pengandaian 2–√ rasional adalah pernyataan yang salah, dan tidak boleh dilakukan. Secara tidak langsung, kita membuktikan bahwa yang benar adalah pernyataan semula, 2–√ merupakan bilangan irasional.